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MEDIDA DE LOS CUERPOS GEOMETRICOS Segunda parte. tr y del cono cuyos diámetros y alturas sean iguales al diámetro de la esfera.
Vosotros mismos podéis apreciar la exactitud de esta afirmación hecha por Arquímedes, puesto que ya conocéis las fórmulas que nos Îlevan a los volúmenes de los tres cuerpos citados. Comprobad que las fórmulas encerradas en sendos rectángulos son la misma que habiamos deducido anteriormente. si esta a vues.
tro alcance medir las bases. la sección media la altura de cualquier otro cuerpo veo.
metrico. podeis aplicar la formula en cues.
tión. sin temor a grandes complicaciones. Nr Volumen de la es4 fera.
Volumen del cilin3 dro. nr. 2r 23r3 2r 2ar3 Volumen del cono. Diferencia de estos tr3 dos volúmenes. 23r3 N 73 el centro de la esfera. La suma de los volúmenes de dichas pirámides nos da el volumen buscado.
Si a este número infinito de pirámides lo llamamos n, y teniendo en cuenta que la altura de éstas es el radio de la esfera, el volumen buscado sería: M Un recurso salvador. Es muy proba.
ble que a cualquiera de vosotros pos ocurra plantear una pre.
punta. con animo de ponernos en un aprieto. Por ejemplo. la siguiente. Como hallar el volumen de un cuerpo irregular. Bn VE 3 Estas relaciones, las anteriormente estudiadas otras que os será fácil comprobar, merecen ser resumidas, por resultar de suma utilidad en el cálculo geométrico: Si en un cilindro inscribimos una esfera y un cono, siendo iguales los diámetros y alturas, se verifica: Son iguales el área lateral del cilindro y el área de la esfera.
a Puesto que Bn es la expresión del área de la esfera, tendremos: gulos semejantes AOB y EOF tienen como razón de semejanza. de donde los trián1 gulos EOF y AE son iguales. El mismo razonamiento nos llevaria a deducir que 1P es igual a EH. puesto que en el cono sucede otro tanto, esto es, que la sección media mide también la cuarta parte de la base, resumiremos las relaciones que existen entre los dos citados planos: Prisma y cilindro: la sección media es igual a las bases. Pirámide y cono: la sección media es de la base.
Esfera: la sección media equivale a un circulo máximo.
Y, sin más, presentamos la fórmula mágica: B IS 40r2. 3. VE 3 Nr3 El área de la esfera equivale a los dos tercios del área total del cilinulro.
De donde el volumen de la esfera es igual a cuatro tercios del producto de a por el cubo del radio. El volumen del cilindro es triple del volumen que tiene el cono. El volumen de la esfera equivale a las dos terceras partes del volumen del cilindro. El volumen de la esfera es doble del volumen del cono. Este documento es propiedad de la Biblioteca Nacional Miguel Obregon Lizano en la que llamamos a la base inferior, a la base superior y a la sección media. Para hallar el volumen del prisma o del cilindro, puesto que B S, dicha fórmula tomará la forma siguiente: B 4B. T Вh 24 LA REPUBLICA. Viernes de setiembre de 1985 es que no sea uno de los cuerpos geometricos que acabamos de estudiar? na piedra. el contenido de una botella de una copa. etc.
Os tranquilizaremos inmediatamente. aseyurándoos que salvo en ciertas condiciones reomo, por ejemplo, que el cuerpo a medir sea porosol. no existe dificultad alguna para conocer su volumen. Pero tambien añadire.
mos que el recurso que os brindamos no corresponde al campo geométrico.
Si en una ocasión os veis precisados a medir el volumen de uno de tales cuerpos irregulares. comenzad por llenar con agua una vasija de vidrio que sea suficientemente amplia para contener el cuerpo en cuestión. Como interesa recoger el liquido que se desbordará tan pronto como introduzeamos el cuerpo en la vasija, situad ésta sobre un plato.
La porción de agua que se desborde medira justamente el volumen del cuerpo: es sufi.
ciente trasladarla a una probeta y leer en su scala el número de centimetros cúbicos a que alcanza.
De igual forma, cuando el cuerpo a medir de poco volumen. cabe tomar desde un principio la probeta. poniendo liquido hasta que su nivel coincida con la rayita indicadora de los 100 centimetros: al introducir el ob.
jeto. mergiendolo en el liquido, se provocara una elevación del nivel. el numero resultante de restar 100. de la me.
dida registrada. nos Jara el volumen que nos proponiamohallar. Otra relación sorprendente. Consideramos interesante daros a conocer un sensacional descubrimiento realizado en el siglo II, a. de por el famoso matemático Arquímedes de Si.
racusa, quien lo calificó de una de las más brillantes conquistas, entre las muchas que él alcanzó en el terreno científico.
Sospechamos que no dejará de produciros sorpresa el comprobar la curiosa relación que liga a los volúmenes del prisma y de la pirámide; pero vuestro asombro será mayor cuando sepáis que el volumen de la esfera es igual a la diferencia de los volúmenes del cilindro Una fórmula que sirve para todo.
Antes de poner a vuestro alcance un recurso que juzgaréis sorprendente, bueno será que hablemos otra vez de los cortes o secciones, ya citados al tratar de los troncos de pirámide y de cono; pero, en el caso presente, sólo nos interesa la sección media, es decir, el corte plano dado a un cuerpo en el punto medio de su altura, y paralelamente a la base.
Recordemos que dicha sección es igual a cada una de las bases, en el prisma y en el cilindro, mientras que en la esfera equivale a un círculo máximo. en la pirámide y en el cono? Observad la figura que sigue: en esta pirámide recta hemos trazado una sección media (rectángulo EFGH. comprobaréis que su medida es igual a la cuarta parte de la base, teniendo en cuenta que los trián.
En el caso de la pirámide o del cono. BB nula por ser un punto. 1 B, B VE 6 En la esfera las dos bases son nulas, en tanto que la sección media vale urla altura es el diámetro, de donde: 0 472 17 2r; TE 6