ersi ns e ita NUMEROS PRIMOS NUMEROS COMPUESTOS ATENAS Ciudad de Teseo No hay un número de experimentos para probar que estoy en lo cierto; pero basta uno solo, en cualquier momento, para probar que estoy equivocado. Albert Einstein)
Este documento es propiedad de la Biblioteca Nacional Miguel Obregón Lizano del Sistema Nacional de Bibliotecas del Ministerio de Cultura y juventud, Costa Rica.
reció el parcelamiento de los grandes dominios, modificando las leyes de sucesión y debilitando el poder de los jefes de clan. Así, en el futuro, los débiles no se verían rodeados de personajes demasiado poderosos que pudieran aplastarlos. Para aliviar la agricultura, que no bastaba para alimentar a una población en pleno desarrollo, favoreció el comercio y la industria, su experiencia personal le había permitido calcular todas las ventajas que Atenas podía sacar de una multiplicación de intercam bios.
Para conseguirlo, atrajo a los extranjeros (metecos. fijó los pesos y medidas y dio a Atenas una moneda de valor estable, capaz de inspirar confianza. De la misma forma, modificó el régimen político, conservando las clases que la costumbre había enseñado a distinguir, pero estipulando que en adelante, cada uno debía subvenir a los gastos del Estado según su fortuna. Los puestos principales serían, así, los más onerosos, y los titulares de los cargos secundarios deberían procurarse su equipo de hoplita. En fin, los más pobres no tendrían ninguna función pública, pero podrían tomar asiento en la asamblea o Ecclesia. Por haber querido proteger a todos, Solón causo una decepción general, pues todos se consideraron perjudicados o beneficiados insuficientemente.
ron de su error demasiado tar cos. Para ello, comenzó por de, y fueron aniquilados. cambiar el régimen social y Designado como árbitro, el sa económico de Atenas. Prohibio Solón se propuso dar a su bió la esclavitud por deudas y pueblo tanto poder como hicie exoneró de sus débitos e hipora falta y se preocupó de que tecas a los pequeños campesinada indigno sucediera a los ri nos, de la misma manera, favoAl estudiar la división, como operación inversa de la multiplicación, observamos que esa operación no es cerrada en el conjunto de los números naturales, esto es, que el resultado de dividir un número natural por otro, no siempre es un número natural, o de otro modo, que la ecuación a. b donde a y son números naturales, no siempre tiene solución en el conjunto de los números naturales; cuando el valor de es también un número natural, a y se llaman factores de b, pues multiplicando a, por se obtiene b; pero también se pueden llamar divisores de b, pues, en tal caso, dividiendo por a se obtiene x, y dividiendo por x, se obtiene a en ambos casos, sin dejar residuo. Por ejemplo, si escogemos 12 como valor de b, notaremos que y son factores de 12: y son también factores de 12; desde luego, y 12 son también factores de 12; desde luego, y 12 son también factores de 12; entonces 1, 2, 3, 4, 6, 12, son divisores de 12, pues la división de 12 por cualquiera de esos números es un número natural y no queda residuo; se dice también que 12 es un múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, y 12. Desde luego, cualquiera que sea el valor de b, yb son divisores de b, yb es múltiplo de y de 1; en efecto, cualquier número natural es divisible por y por sí mismo, sin dejar residuo.
Estudiemos otros números naturales en la misma forma: a) 10 se puede escribir 10 1; luego 10 y son divisores de 10, y 10 es múltiplo de y de 10. Pero, además, se puede escribir 10 x 5; luego y son divisores de 10 y 10 es múltiplo de y de Podríamos escribir 10 como producto de dos números naturales distintos de los mencionados. Parece que no.
Entonces, 10 10 1 x b) 45 se puede escribir como producto de números naturales de varias maneras: 45 45 15 Se le ocurre alguna otra forma. Si no, los divisores distintos de 45 son 1, 3, 5, 9, 15, 45, o sea que el conjunto de los divisores de 45 es (1, 3, 5, 9, 15, 45. Notemos que en el conjunto de los divisores de un número siempre aparecen el y el número mismo.
c) 11 se puede escribir 11. Habrá otros dos números naturales distintos de y 11 que, multiplicados entre sí, den 11. Veremos que no es divisor de 11 pues al dividir 11 por se obtiene como cociente, pero queda un residuo de 1: tampoco es divisor de 11.
pues al dividir por 3, el cociente es y queda un residuo de 2; y no necesitamos hacer más ensayos, pues si 11 fuera divisible por un número mayor de 3, por ejemplo 4, el cociente sería también divisor de 11 y menor de y ya vimos que no es divisor de 11. De modo que el número 11 es divisible sólo por y por 11.
Se dice entonces que 11 es un número primo.
Número primo es un número natural que sólo es divisible por y por sí mismo. Si admite más divisores, es un número compuesto.
Número compuesto es un número natural divisible por un número natural menor distinto de Con los criterios expuestos podemos separar el conjunto de los números naturales en dos subconjuntos: el conjunto de los números primos (que sólo son divisibles por y por el número mismo) y el conjunto de los números compuestos (divisibles por algún número menor distinto de El procedimiento más cómodo para determinar los elementos de esos conjuntos se debe a Eratostenes, un matemático griego que vivió de 275 a 195 AC. Consiste en escribir los números naturales en orden hasta cierto límite y luego eliminar, sucesivamente, los números divisibles por 2, por 3, etc. Los números que quedan sin eliminar son los números primos hasta el límite considerado.
Como ejemplo, construyamos una tabla a diez columnas con los números naturales de a 100.
Todos los números divisibles por 2, que son los números pares, aparecen en las columnas que comienzan con 2, 4, 6, y 10. Luego, si eliminamos (o tachamos) todos los números de esas columnas, con excepción de 2, eliminamos sólo números compuestos, pues todos ellos son divisibles por Notemos que al eliminar los múltiplos de 4, de 8, de 16, etc. es decir, los múltiplos de las potencias de 2, 22, 23, etc.
Si ahora separamos el y tachamos los números cada tres casillas, eliminamos en esa forma los múltiplos de tres (y los múltiplos de las potencias de tres, 9, 27, etc. Notemos que esas casillas están en diagonales que descienden hacia la izquierda comenzando con 3, 6, 9, 30, etc.
Los números divisibles por ya fueron eliminados cuando se tacharon todos los números pares.
Papondas Tosty. ondas de sabor!
LA REPUBLICA. Lunes 16 de setiembre de 1985 33